Oblicz granicę \( \lim\limits_{x \to -1}⁡\frac{\ln⁡(2x+3)+x}{\sqrt{2x^3-5x+1}-3x} \).
Rozwiązanie:

Z twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji obliczamy granice \( \lim\limits_{x \to -1}⁡(2x+3)=2 \cdot (-1)+3=1 \) oraz \( \lim\limits_{x \to -1}⁡(2x^3-5x+1)=2\cdot (-1)^3-5 \cdot (-1)+1=4. \) Funkcja \( \ln x \) jest określona w otoczeniu punktu \( 1 \) i \( \lim\limits_{x \to -1}\ln(2x+3)=\ln 1=0 \), a funkcja \( \sqrt{x} \) jest określona w otoczeniu punktu \( 4 \) i \( \lim\limits_{x \to -1}⁡\sqrt{2x^3-5x+1}=\sqrt{4}=2 \).
Z twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji obliczamy granicę

Oblicz granicę \( \lim\limits_{x\to 2}⁡ \frac{3 \operatorname{tg} \frac{\pi}{2x}-4 \sin \frac{\pi}{3x}}{x^2-x}. \)
Rozwiązanie:

Obliczamy \( \lim\limits_{x\to 2} \frac{\pi}{2x}=[\frac{\pi}{2\cdot 2}]=\frac{\pi}{4} \) oraz \( \lim\limits_{x\to 2} \frac{\pi}{3x}=[\frac{\pi}{3\cdot 2}]=\frac{\pi}{6} \). Funkcja \( \operatorname{tg} x \) jest określona w otoczeniu punktu \( \frac{\pi}{4} \), czyli \( \lim\limits_{x\to 2} \operatorname{tg} \frac{\pi}{2x}=\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}=1 \) i funkcja \( \sin x \) jest określona w otoczeniu punktu \( \frac{\pi}{6} \), a zatem \( \lim\limits_{x\to 2} \sin \frac{\pi}{3x} =\sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} \). Korzystając z twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji obliczamy granicę

Oblicz granicę \( \lim\limits_{x \to 1^- }⁡e^{ \frac{1}{1-x} } (2+\cos⁡( (x-1)^{-2}+1) ) \).
Rozwiązanie:

Ponieważ \( \lim\limits_{x \to 1^-}( (x-1)^{-2}+1)=[\frac{1}{0^+} +1]=+\infty \), a funkcja \( \cos ⁡x \) nie ma granicy w \( +\infty \), nie możemy skorzystać z twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji. Skorzystamy z twierdzenia o dwóch funkcjach i nierówności dla funkcji cosinus \( \cos x \geq -1 \).

Granica \( \lim\limits_{x \to 1^-}⁡\frac{1}{1-x}=+\infty \), czyli \( \lim\limits_{x \to 1^-}⁡ e^{\frac{1}{1-x}}=+\infty \), a zatem granica funkcji o wartościach większych lub równych wartościom funkcji \( e^{\frac{1}{1-x} } \) w lewostronnym sąsiedztwie punktu \( 1 \) nie może być mniejsza, a zatem

Oblicz granicę \( \lim\limits_{x \to 0^+}⁡[ (1-2^{\frac{1}{x}}) \ln⁡ (x+1) ] \).
Rozwiązanie:

Obliczamy granice pomocnicze \( \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1}{x}=+\infty \), czyli \( \lim\limits_{x \to 0^+}(1-2^{\frac{1}{x}})=[1-\infty]=- \infty \) oraz \( \lim\limits_{x \to 0^+}(x+1)=[0+1]=1 \), czyli \( \lim\limits_{x \to 0^+ } \ln⁡(x+1)=\ln 1=0 \).
Otrzymujemy symbol nieoznaczony \( \lim\limits_{x \to 0^+ }[(1-2^{\frac{1}{x}}) \ln⁡(x+1)]=[- \infty \cdot 0] \) . Skorzystamy z twierdzenia o dwóch funkcjach wiedząc, że dla \( x \in (0,1) \) zachodzi nierówność \( \ln⁡(x+1) < \ln 2 \).

Ponieważ \( \lim\limits_{x \to 0^+ }⁡(1-2^{\frac{1}{x}} ) \ln 2=[(1- \infty) \ln 2]=-\infty \) , to funkcja o wartościach mniejszych od \( (1-2^{\frac{1}{x}} ) \ln 2 \) w prawostronnym sąsiedztwie punktu \( 0 \) nie może mieć granicy od niej większej, a zatem

Oblicz granicę \( \lim\limits_{x \to - \infty }⁡\frac{3^x-\sin x }{2^x+\cos x } \).
Rozwiązanie:

Ponieważ dla \( x \to - \infty \) funkcje \( \sin x \) oraz \( \cos x \) nie mają granic, zastosujemy twierdzenie o trzech funkcjach pamiętając, że zbiorem wartości funkcji sinus i cosinus jest przedział \( [-1,1] \).

Zauważamy, że funkcja wykładnicza \( (\frac{3}{2})^x \) ma w \( - \infty \) granicę równą \( 0 \). Obliczamy granice funkcji skrajnych
\( \lim\limits_{x \to - \infty} \frac{3^x-1}{2^x+1}=\lim\limits_{x \to - \infty} (\frac{3}{2})^x \frac{1-(\frac{1}{3})^x}{1+(\frac{1}{2})^x} =[0 \cdot \frac{1-0}{1+0}]=0 \) oraz
\( \lim\limits_{x \to - \infty} \frac{3^x+1}{2^x-1}=\lim\limits_{x \to - \infty} (\frac{3}{2})^x \frac{1+(\frac{1}{3})^x}{1-(\frac{1}{2})^x}=[0 \cdot \frac{1+0}{1-0}]=0 \).
Ponieważ w dowolnym przedziale \( (- \infty, M) \) zachodzą nierówności pomiędzy wartościami trzech funkcji i granice funkcji skrajnych w \( - \infty \) są takie same, to

Oblicz granicę \( \lim\limits_{x \to \infty }\frac{\ln ⁡(x^2+2)}{\ln⁡ (x^3+3)} \).
Rozwiązanie:

Obliczamy granice pomocnicze \( \lim\limits_{x \to \infty } (x^2+2)= \lim\limits_{x \to \infty } (x^3+3)=\infty \), a funkcja \( \ln x \) ma w \( + \infty \) granicę niewłaściwą \( + \infty \), to otrzymujemy symbol nieoznaczony \( \lim\limits_{x \to \infty }\frac{\ln ⁡(x^2+2)}{\ln⁡ (x^3+3)}=[\frac{\infty}{\infty}] \) . Skorzystamy z twierdzenia o trzech funkcjach i faktu, że funkcja \( \ln x \) jest rosnąca, a zatem dla \( x > 1 \) mamy
\( \ln⁡(x^2 ) < \ln⁡(x^2+2) < \ln⁡(x^2+2x^2) \) oraz \( \ln⁡(x^3 ) < \ln⁡(x^3+3) < \ln⁡(x^3+2x^3) \). Czyli

Korzystając z twierdzeń o logarytmach obliczamy granice \( \lim\limits_{x \to \infty } \frac{\ln⁡(x^2)}{\ln⁡(x^3+3x^3)}=\lim\limits_{x \to \infty } \frac{2 \ln x}{\ln 4+3 \ln x}=\lim\limits_{x \to \infty } \frac{2}{ \frac{\ln 4}{\ln x}+3}=[\frac{2}{ \frac{\ln 4}{\infty}+3}]=\frac{2}{3} \) oraz \( \lim\limits_{x \to \infty } \frac{\ln⁡(x^2+2x^2)}{\ln⁡(x^3)}=\lim\limits_{x \to \infty } \frac{\ln 3+2 \ln x}{3 \ln x}=\lim\limits_{x \to \infty } \frac{\frac{\ln 3}{\ln x}+2}{3}=[\frac{ \frac{\ln 3}{\infty}+2}{3}]=\frac{2}{3} \). Ponieważ w dowolnym przedziale \( (M, \infty) \) dla \( M > 1 \) zachodzą nierówności pomiędzy wartościami trzech funkcji i granice w \( + \infty \) funkcji skrajnych są równe, to

Oblicz granicę \( \lim\limits_{x \to 1}⁡\frac{x^2-2x+1}{x^2+x-2} \cos \frac{1}{|x-1|} \).
Rozwiązanie:

Zauważamy, że \( \lim\limits_{x \to 1} \frac{1}{|x-1|}=[\frac{1}{0^+} ]=+ \infty \), a funkcja \( \cos x \) nie ma granicy w nieskończoności. Zbiorem wartości funkcji \( \cos x \) jest przedział \( [-1,1] \), a zatem jest to funkcja ograniczona w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Liczymy granicę drugiego czynnika \( \lim\limits_{x \to 1}\frac{x^2-2x+1}{x^2+x-2}=[\frac{0}{0}]= \lim\limits_{x \to 1}⁡\frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+2)}=[\frac{0}{3}]=0 \). Z twierdzenia o granicy iloczynu funkcji ograniczonej i mającej granicę zero otrzymujemy

Oblicz granicę \( \lim\limits_{x \to \infty}\frac{(3x-2) \sin ⁡(x^2+1)}{2x^3+4x+5} \).
Rozwiązanie:

Ponieważ \( \lim\limits_{x \to \infty} (x^2+1)= \infty \), a funkcja \( \sin x \) nie ma granicy w nieskończoności, dlatego nie możemy zastosować twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji, zauważmy jednak, że funkcja \( \sin x \) jest ograniczona w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Obliczmy więc granicę pozostałego czynnika \( \lim\limits_{x \to \infty}\frac{3x-2}{2x^3+4x+5}=[\frac{\infty}{\infty}]= \lim\limits_{x \to \infty } \frac{x(3-\frac{2}{x})}{x^3 (2+\frac{4}{x^2} +\frac{5}{x^3})}= \lim\limits_{x \to \infty }⁡ \frac{1}{x^2} \cdot \frac{3-\frac{2}{x}}{2+\frac{4}{x^2} +\frac{5}{x^3}}=[0 \cdot \frac{3-0}{2+0+0}]=0. \) Z twierdzenia o granicy iloczynu funkcji ograniczonej i mającej granicę zero otrzymujemy

Oblicz granicę \( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x+2}{2x-3} \arcsin \frac{x+1}{2x-3} \).
Rozwiązanie:

Dokonajmy zamiany zmiennej w badanej funkcji i niech \( y=\frac{x+1}{2x-3} \). Obliczamy granicę nowej zmiennej \( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x+1}{2x-3}=\lim\limits_{x \to \infty} ⁡\frac{x(1+\frac{1}{x})}{x(2-\frac{3}{x})}=\frac{1}{2} \). Zapisujemy funkcję \( \frac{2x+2}{2x-3} \) jako funkcję nowej zmiennej w postaci funkcji \( 2y \). Funkcje \( 2y \) i \( \arcsin y \) są określone w otoczeniu punktu \( \frac{1}{2} \). Korzystamy z twierdzenia o zamianie zmiennej w granicy pamiętając, że \( \lim\limits_{y \to \frac{1}{2}}⁡ \arcsin y=\frac{\pi}{6} \).

Oblicz granicę \( \lim\limits_{x \to 3^-}⁡\frac{ \operatorname{arctg} \frac{1}{3-x}}{(x-3)^3+4} \).
Rozwiązanie:

Dokonujemy zamiany zmiennej podstawiając \( y=\frac{1}{3-x} \). Obliczamy granicę nowej zmiennej \( \lim\limits_{x \to 3^-} \frac{1}{3-x}=[\frac{1}{0^+} ]=+\infty \). Badana funkcja zapisuje się jako funkcja nowej zmiennej jako \( \frac{ \operatorname{arctg} y}{ ( \frac{1}{-y} )^3+4 } \). Korzystamy z twierdzenia o zamianie zmiennej w granicy pamiętając, że \( \lim\limits_{y \to + \infty}⁡ \operatorname{arctg} y= \frac{\pi}{2} \).